Упростите ((a − 2)/(a + 2) − (a + 2)/(a − 2)) ÷ (12a²/(4 − a²)).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала приводим выражения в скобках к общему знаменателю $(a+2)(a-2)$. Получаем:

   $\frac{(a-2)^{2}-(a+2)^{2}}{(a+2)(a-2)}$

   В числителе — разность квадратов: $(A^{2}-B^{2})=(A-B)(A+B)$, где $A=a-2$, $B=a+2$, что даёт $(-4)(2a)=-8a$. Можно также раскрыть скобки: $a^{2}-4a+4-a^{2}-4a-4=-8a$.

2. 2

   Запишем скобку компактно. Так как $(a+2)(a-2)=a^{2}-4$, имеем:

   $\text{скобка}=\frac{-8a}{a^{2}-4}$

3. 3

   Деление на дробь заменяется умножением на обратную:

   $\frac{-8a}{a^{2}-4}\cdot\frac{4-a^{2}}{12a^{2}}$

4. 4

   Используем равенство $4-a^{2}=-(a^{2}-4)$ для сокращения квадратных выражений. Противоположные по знаку множители сокращаются с коэффициентом $-1$:

   $\frac{-8a}{a^{2}-4}\cdot\frac{-(a^{2}-4)}{12a^{2}}=\frac{8a}{12a^{2}}$

   Если забыть про смену знака, можно ошибочно получить отрицательный ответ.

5. 5

   Сократим получившуюся дробь. Делим числитель и знаменатель на $4a$:

   $\frac{8a}{12a^{2}}=\frac{2}{3a}$

   $\boxed{\dfrac{2}{3a}}\qquad(a\neq 0,\ a\neq\pm 2)$

6. 6

   Проверим результат на конкретном значении. При $a=1$: скобка равна $\tfrac{-1}{3}-\tfrac{3}{-1}=-\tfrac13+3=\tfrac83$, делитель $\tfrac{12}{3}=4$, частное $\tfrac{8}{12}=\tfrac23$. Полученный ответ даёт $\tfrac{2}{3(1)}=\tfrac23$ — всё верно.