Разложите по множителям циклическое выражение (b − c)(b + c)⁴ + (c − a)(c + a)⁴ + (a − b)(a + b)⁴.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим наличие корней до раскрытия скобок. Подставим $a=b$. Третий слагаемое обращается в ноль из-за множителя $(a-b)$, а первые два дают

   $(b-c)(b+c)^4+(c-b)(c+b)^4=0$

   Таким образом, выражение обращается в ноль при $a=b$, значит, $(a-b)$ — делитель. По циклической симметрии то же самое выполняется для $b=c$ и $c=a$, значит, произведение $(a-b)(b-c)(c-a)$ делит исходное выражение.

2. 2

   Оценим степени для поиска дополнительного множителя. Каждое слагаемое имеет степень $5$, а $(a-b)(b-c)(c-a)$ — степень $3$, значит, оставшийся множитель — однородный симметричный многочлен степени $2$:

   $Q=\alpha\left(a^2+b^2+c^2\right)+\beta(ab+bc+ca)$

   Осталось найти два коэффициента, для чего достаточно двух подстановок.

3. 3

   Найдём $\alpha$ и $\beta$ подстановкой. При $(a,b,c)=(-7,-3,0)$ выражение равно $-23436$, а $(a-b)(b-c)(c-a)=(-4)(-3)(7)=84$, значит, $Q=-279$, а $a^2+b^2+c^2=58$, $ab+bc+ca=21$:

   $58\alpha+21\beta=-279$

   При $(a,b,c)=(-1,-7,2)$ аналогично получаем $54\alpha-9\beta=-117$. Решая систему, находим

   $\alpha=-3,\qquad \beta=-5$

4. 4

   Запишем окончательное разложение. Вынесем минус за скобки:

   $(b-c)(b+c)^4+(c-a)(c+a)^4+(a-b)(a+b)^4=-(a-b)(b-c)(c-a)\Big[3\left(a^2+b^2+c^2\right)+5(ab+bc+ca)\Big]$

5. 5

   Проверим с раскрытием скобок. Раскрывая каждое слагаемое по формуле $(x-y)(x+y)^4=x^5+3x^4y+2x^3y^2-2x^2y^3-3xy^4-y^5$ и суммируя циклически, получаем

   $3\left(a^4b+b^4c+c^4a\right)+2\left(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\right)-2\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)-3\left(ab^4+bc^4+ca^4\right)$

   Пятые степени сокращаются. Проверка разложения на $500$ случайных рациональных троек ошибок не дала $\checkmark$, а ещё одна проверка при $(a,b,c)=(-5,-2,-8)$ даёт $-32886$ с обеих сторон.