Упростите выражение (2x + 1)² − (2x − 1)².

Step-by-step solution

1. 1

   Выберем путь разложения, а не раскрытия скобок. Разность двух квадратов всегда раскладывается:

   $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

   Здесь оба слагаемых уже являются квадратами, поэтому тождество превращает задачу, выглядящую квадратной, в два коротких вычитания и одно умножение.

2. 2

   Зададим два основания.

   $A = 2x+1, \qquad B = 2x-1$

   Оба линейны по $x$ и имеют одинаковый старший коэффициент — именно поэтому один из множителей свернётся в константу.

3. 3

   Вычислим A − B. Раскрываем минус на всю вторую скобку:

   $(2x+1) - (2x-1) = 2x + 1 - 2x + 1 = 2$

   Слагаемые $2x$ взаимно уничтожаются; если забыть поменять знак у $-1$, получится $0$ вместо $2$, и весь ответ обнулится.

4. 4

   Вычислим A + B и перемножим.

   $(2x+1) + (2x-1) = 4x$

   Значит,

   $(2x+1)^2 - (2x-1)^2 = 2 \cdot 4x = 8x$

5. 5

   Сверим с прямым раскрытием скобок. Раскрывая, получаем

   $(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - 4x + 1) = 8x$

   Слагаемые $4x^2$ и $+1$ уничтожаются, остаются лишь удвоенные произведения — в этом и структурная причина линейности ответа. При $x = 5$ обе формы дают $121 - 81 = 40 = 8 \cdot 5$.