Решить уравнение 21x² + 68x − 85 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Пробуем подбор по произведению ac. При $a=21$ и $c=-85$ нужны два целых числа, произведение которых равно

   $ac=21\cdot(-85)=-1785$

   а сумма равна $b=68$.

2. 2

   Показываем, что подбор действительно не проходит. Пары делителей числа $1785=3\cdot 5\cdot 7\cdot 17$ дают со знаками суммы $\pm 1784,\pm 592,\pm 352,\pm 248,\pm 104,\pm 88,\pm 64,\pm 16$. Ближе всего пара $85$ и $-21$ с суммой $64$, а не $68$, — значит целочисленного разложения нет, и любой «ответ», построенный на этой паре, окажется неверным.

3. 3

   Вычисляем дискриминант.

   $\Delta=68^2-4(21)(-85)=4624+7140=11764$

   Так как $108^2=11664$, а $109^2=11881$, число $\Delta$ не является полным квадратом, что подтверждает иррациональность корней.

4. 4

   Применяем формулу и упрощаем. $11764=4\cdot 2941$, а число $2941=17\cdot 173$ свободно от квадратов, поэтому $\sqrt{11764}=2\sqrt{2941}$:

   $x=\frac{-68\pm 2\sqrt{2941}}{42}=\frac{-34\pm\sqrt{2941}}{21}$

5. 5

   Проверяем численно. $\sqrt{2941}\approx 54.231$, поэтому $x\approx 0.9634$ или $x\approx-4.2015$. Тогда $21(0.9634)^2+68(0.9634)-85\approx 19.49+65.51-85\approx 0$ $\checkmark$.