Пусть f(x) = a(x − 5)^3 + b(x − 5) + 7. Если множество решений 1 ≤ f(x) ≤ 13 есть k − 9 ≤ x ≤ 3k + 7, найдите k.

Step-by-step solution

1. 1

   Выделим нечетную часть функции. Обозначим $t=x-5$ и $g(t)=at^3+bt$. Тогда

   $f(x)=g(x-5)+7$

   Функция $g$ нечетная, так как $g(-t)=-at^3-bt=-g(t)$. Любое выражение вида «куб плюс линейная часть» обладает этим свойством — нет четных степеней, значит, симметрия не нарушается.

2. 2

   Переведём нечетность в точечную симметрию $f$. Для любого $t$ выполняется:

   $f(5+t)+f(5-t)=\left[g(t)+7\right]+\left[g(-t)+7\right]=g(t)-g(t)+14=14$

   То есть график $f$ симметричен относительно точки $(5,7)$: всё, что происходит на $t$ вправо от $x=5$, зеркально отражается (с переворотом) на $t$ влево.

3. 3

   Заметим, что границы неравенства тоже симметричны относительно 7. Неравенство имеет вид

   $1\le f(x)\le 13\iff |f(x)-7|\le 6$

   так как $1=7-6$, $13=7+6$. Условие симметрично относительно центрального значения, а функция — относительно центральной точки, значит, множество решений должно быть симметрично относительно $x=5$.

4. 4

   Потребуем, чтобы данный интервал был центрирован в 5. Найдём середину отрезка $\left[k-9,\;3k+7\right]$:

   $\frac{(k-9)+(3k+7)}{2}=\frac{4k-2}{2}=2k-1$

   Приравниваем к $5$:

   $2k-1=5\;\Longrightarrow\;k=3$

5. 5

   Проверим, что при $k=3$ получается корректный интервал. При $k=3$ границы: $k-9=-6$, $3k+7=16$, значит, множество решений $[-6,16]$ — это непустой интервал, его середина $\tfrac{-6+16}{2}=5\;\checkmark$, совпадает с центром симметрии. Его полуширина $11$ далее задаёт ограничения на $a$ и $b$ через $f(16)=13$, но само $k$ определяется только симметрией.