Найти A, если 5 log x − 4 log(x² + 1) + 5 log(x − 1) = log A.

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим каждый коэффициент внутрь логарифма как показатель степени. По правилу степени $k\log M=\log\left(M^k\right)$ для каждого слагаемого:

   $5\log x=\log\left(x^5\right),\qquad 5\log(x-1)=\log\left((x-1)^5\right),\qquad -4\log\left(x^2+1\right)=\log\left(\left(x^2+1\right)^{-4}\right)$

   Коэффициент всегда становится показателем степени всего выражения, поэтому $(x^2+1)^{-4}$, а не $x^{-8}+1$.

2. 2

   Сумму логарифмов заменяем на логарифм произведения. По формуле $\log M+\log N=\log(MN)$ три слагаемых объединяются в один логарифм:

   $\log\left(x^5\left(x^2+1\right)^{-4}(x-1)^5\right)=\log A$

3. 3

   Отрицательную степень записываем как деление. Так как $M^{-4}=\dfrac{1}{M^{4}}$, вычитаемый логарифм переходит в деление — это правило частного $\log M-\log N=\log\frac MN$ с другой стороны:

   $A=\frac{x^5(x-1)^5}{\left(x^2+1\right)^4}$

4. 4

   Логарифмы можно сократить, так как функция $\log$ взаимно однозначна: $\log P=\log Q$ влечёт $P=Q$ при положительных $P$ и $Q$. Таким образом, получаем выражение для $A$ напрямую, без дополнительного возведения в степень.

5. 5

   Указываем область определения, которая при объединении логарифмов становится шире. Изначально требуется $x>0$ и $x-1>0$, то есть $x>1$. Полученная формула для $A$ формально определена и при $x=0{,}5$, но там $\log(x-1)$ не существует. Поэтому областью остаётся $x>1$.

6. 6

   Проверим результат на удобном значении. При $x=2$ левая часть: $5\log 2-4\log 5+5\log 1=1{,}50515-2{,}79588+0=-1{,}29073$. По формуле $A=\dfrac{32\cdot 1}{625}=0{,}0512$, и $\log 0{,}0512=-1{,}29073$ — совпадает.