Многочлен f(x) при делении на 2x^2 - 3x + 4 даёт остаток 2x + 1. Найдите остаток от деления [f(x)]^3 на 2x^2 - 3x + 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Переписываем факт о делении в виде равенства, которое можно возвести в куб. «Остаток $2x+1$» означает, что существует некоторый многочлен-частное $Q(x)$, для которого

   $f(x)=Q(x)\,(2x^2-3x+4)+(2x+1)$

   Это единственная данная нам информация, поэтому каждый шаг должен вытекать именно из неё. Обозначим для краткости $D(x)=2x^2-3x+4$.

2. 2

   Возводим обе части в куб и отбрасываем всё, что делится на $D(x)$. Раскрывая $\big(QD+(2x+1)\big)^3$ по формуле бинома, получаем

   $Q^3D^3+3Q^2D^2(2x+1)+3QD(2x+1)^2+(2x+1)^3$

   Первые три слагаемых содержат множитель $D(x)$, поэтому в остаток они ничего не дают. В этом и состоит ключевая идея: остаток от деления $f^3$ совпадает с остатком от деления $(2x+1)^3$. Знать сами $f$ и $Q$ вообще не требуется.

3. 3

   Раскрываем куб.

   $(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1$

   Делитель имеет степень $2$, поэтому искомый остаток имеет степень не выше $1$ — он будет иметь вид $Ax+B$.

4. 4

   Понижаем степени $x$ с помощью самого делителя. Вместо деления уголком воспользуемся соотношением $2x^2-3x+4=0$ в факторкольце, то есть будем считать

   $x^2=\frac{3x-4}{2}$

   правилом переписывания. Тогда

   $x^3=x\cdot x^2=\frac{3x^2-4x}{2}=\frac{3\cdot\frac{3x-4}{2}-4x}{2}=\frac{\frac{9x-12-8x}{2}}{2}=\frac{x-12}{4}$

   Такая подстановка гораздо быстрее деления кубического многочлена на квадратный и обобщается на любую степень $x$.

5. 5

   Подставляем и приводим подобные.

   $8x^3=8\cdot\frac{x-12}{4}=2x-24,\qquad 12x^2=12\cdot\frac{3x-4}{2}=18x-24$

   поэтому

   $(2x+1)^3\equiv(2x-24)+(18x-24)+6x+1=26x-47$

6. 6

   Проверяем честным делением уголком. Деление $8x^3+12x^2+6x+1$ на $2x^2-3x+4$ даёт частное $4x+12$, причём

   $(2x^2-3x+4)(4x+12)=8x^3+12x^2-20x+48$

   Прибавляя заявленный остаток: $8x^3+12x^2-20x+48+26x-47=8x^3+12x^2+6x+1$, то есть в точности наш куб. Остаток подтверждён.