Упростить a e^(−4i) + b e^(4i) до тригонометрической формы по формуле Эйлера.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем формулу Эйлера и отмечаем, что $4$ — это радианы.

   $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

   Здесь $\theta=\pm4$ радиана — фиксированное число, а не переменная, поэтому $\cos 4$ и $\sin 4$ — просто константы ($\cos4=-0.6536$, $\sin4=-0.7568$).

2. 2

   Раскрываем каждую экспоненту. Пользуемся чётностью косинуса и нечётностью синуса, $\cos(-\theta)=\cos\theta$ и $\sin(-\theta)=-\sin\theta$:

   $e^{-4i}=\cos 4-i\sin 4,\qquad e^{4i}=\cos 4+i\sin 4$

   У них общий косинус и противоположные синусы — именно эта асимметрия и порождает разность $b-a$ ниже.

3. 3

   Подставляем и раскрываем скобки с коэффициентами.

   $a\,e^{-4i}+b\,e^{4i}=a(\cos 4-i\sin 4)+b(\cos 4+i\sin 4)$

4. 4

   Группируем вещественную и мнимую части. Собираем отдельно слагаемые с $\cos 4$ и с $\sin 4$:

   $=(a+b)\cos 4+i\,(b-a)\sin 4$

   В вещественной части стоит сумма $a+b$, а в мнимой — разность $b-a$; обратите внимание на порядок: именно $b$ минус $a$.

5. 5

   Проверяем два частных случая. Если $b=a$, мнимая часть исчезает и остаётся $2a\cos4$, что совпадает с $a(e^{4i}+e^{-4i})=2a\cos4$ ✓. Если $b=-a$, исчезает вещественная часть и остаётся $-2ai\sin4$, что совпадает с $a(e^{-4i}-e^{4i})=-2ai\sin4$ ✓.

6. 6

   Проверяем численно. При $a=1.3$, $b=-0.7$ прямое вычисление даёт $-0.392186+1.513605i$, а $(a+b)\cos4+i(b-a)\sin4=0.6(-0.65364)+i(-2)(-0.75680)=-0.392186+1.513605i$ ✓.