Раскройте скобки и приведите подобные члены в ((a₁(x – y) + b₁)(x – y) + (a₂y + b₂)y) / x.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим вложенную (горнеровскую) структуру. Каждая часть имеет вид $(\text{коэффициент}\cdot t+\text{константа})\cdot t$, то есть квадратный трёхчлен, записанный для минимизации числа умножений: первая часть с $t=x-y$, вторая с $t=y$. Раскрывать скобки поэтапно — надёжнее, чем сразу всё перемножать.

2. 2

   Раскроем каждую часть отдельно, получая квадратные выражения по своему переменному.

   $\left(a_1(x-y)+b_1\right)(x-y)=a_1(x-y)^2+b_1(x-y)$

   $\left(a_2y+b_2\right)y=a_2y^2+b_2y$

   Значит, числитель равен $a_1(x-y)^2+b_1(x-y)+a_2y^2+b_2y$.

3. 3

   Раскроем квадрат и линейную скобку. По формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:

   $a_1(x-y)^2=a_1x^2-2a_1xy+a_1y^2,\qquad b_1(x-y)=b_1x-b_1y$

   Каждый член скобки умножается на свой коэффициент, в том числе средний $-2a_1xy$, который легко потерять.

4. 4

   Приведём подобные члены из двух частей. Сложить можно только члены при $y^2$ и $y$:

   $a_1y^2+a_2y^2=(a_1+a_2)y^2,\qquad -b_1y+b_2y=(b_2-b_1)y$

   Числитель принимает вид:

   $a_1x^2-2a_1xy+(a_1+a_2)y^2+b_1x+(b_2-b_1)y$

5. 5

   Разделим каждый член на $x$, если требуется полностью разложенная форма. При $x\neq 0$:

   $a_1x-2a_1y+\frac{(a_1+a_2)y^2}{x}+b_1+\frac{(b_2-b_1)y}{x}$

   Только члены с $x$ сокращаются; у $y^2$ и $y$ в числителе остаётся $x$ в знаменателе, то есть это не многочлен.

6. 6

   Проверим на числовом примере. Пусть $a_1=1, b_1=2, a_2=3, b_2=4, x=5, y=1$. Исходный числитель: $(1\cdot 4+2)\cdot 4+(3+4)\cdot 1=24+7=31$. В собранном виде: $25-10+4\cdot 1+10+2\cdot 1=31$ ✓. Делим на $x=5$, получаем $6.2$ в обоих случаях.