Решить неравенство (75% + 85%(2000 − x))/2000 ≥ 83% относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала переводим все проценты в десятичные дроби. Смешивать знак $\%$ с алгеброй — кратчайший путь к ошибке, поэтому заменим их раз и навсегда: $75\%=0.75$, $85\%=0.85$, $83\%=0.83$.

   $\frac{0.75+0.85(2000-x)}{2000}\ \ge\ 0.83$

2. 2

   Раскрываем скобку в числителе.

   $0.85(2000-x)=1700-0.85x\;\Longrightarrow\;\frac{1700.75-0.85x}{2000}\ \ge\ 0.83$

3. 3

   Избавляемся от знаменателя. Обе части можно умножить на $2000$, не меняя знак неравенства, поскольку $2000>0$:

   $1700.75-0.85x\ \ge\ 1660$

4. 4

   Оставляем слева только слагаемое с $x$. Вычитаем $1700.75$ из обеих частей:

   $-0.85x\ \ge\ -40.75$

5. 5

   Делим на $-0.85$ и переворачиваем знак неравенства. Это единственный шаг, где направление меняется: деление на отрицательное число обращает порядок:

   $x\ \le\ \frac{-40.75}{-0.85}=\frac{40.75}{0.85}=47.941176\ldots$

6. 6

   Проверяем по одному значению с каждой стороны границы. При $x=47$: $\tfrac{1700.75-39.95}{2000}=0.83040\ge0.83$ ✓. При $x=48$: $\tfrac{1700.75-40.8}{2000}=0.829975<0.83$ ✗ — значит граница действительно лежит между $47$ и $48$, и если $x$ обязан быть целым, ответом будет $x\le47$.