Множество решений квадратного неравенства ax² + bx + 1 > 0 — это промежуток −1 < x < 2. Найдите значение ab.

Step-by-step solution

1. 1

   По виду множества решений определяем знак $a$. Парабола положительна между своими корнями только тогда, когда её ветви направлены вниз. Здесь множество решений — ограниченный промежуток $(-1,2)$, то есть выражение положительно строго между двумя числами, поэтому

   $a<0,$

   а числа $x=-1$ и $x=2$ обязаны быть корнями уравнения $ax^{2}+bx+1=0$ (это концы промежутка, где строгое неравенство перестаёт выполняться).

2. 2

   Восстанавливаем квадратный трёхчлен по его корням. Любой квадратный трёхчлен с корнями $-1$ и $2$ кратен произведению $(x+1)(x-2)$, поэтому

   $ax^{2}+bx+1=k(x+1)(x-2)=k\left(x^{2}-x-2\right)=kx^{2}-kx-2k$

   при некотором $k<0$ (знак $k$ совпадает со знаком $a$).

3. 3

   Определяем $k$ по свободному члену. Именно этот шаг делает задачу разрешимой: у данного трёхчлена свободный член равен ровно $1$, что и убирает произвол в масштабном множителе. Сравнивая свободные члены,

   $-2k=1\quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{2},$

   и это значение действительно удовлетворяет условию $k<0$, согласуясь с первым шагом.

4. 4

   Считываем $a$ и $b$. Подставляя $k=-\tfrac12$:

   $ax^{2}+bx+1=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+1\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{2},\ \ b=\frac{1}{2}.$

5. 5

   Вычисляем $ab$ и проверяем исходное неравенство.

   $ab=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}.$

   Проверка: неравенство $-\tfrac12x^{2}+\tfrac12x+1>0$ равносильно (умножаем на $-2$ и меняем знак) неравенству $x^{2}-x-2<0$, то есть $(x+1)(x-2)<0$, решением которого как раз и служит $-1<x<2$. Контрольные значения это подтверждают: при $x=0$ выражение равно $1>0$, в концевых точках $x=\pm$ оно равно $0$, а при $x=3$ равно $-2<0$.