Упростите вложенный радикал √(11 − √120) как разность двух квадратных корней.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем внутренний радикал к виду $2\sqrt{k}$. Для применения стандартных формул разложения вложенных радикалов удобно выделить множитель $2$ перед внутренним корнем. Представим $120$ как произведение квадрата и числа:

   $\sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=2\sqrt{30}\;\Longrightarrow\;11-\sqrt{120}=11-2\sqrt{30}$

2. 2

   Составим шаблон полного квадрата. Пусть $11-2\sqrt{30}=\left(\sqrt m-\sqrt n\right)^2$. Раскроем скобки справа:

   $\left(\sqrt m-\sqrt n\right)^2=m+n-2\sqrt{mn}$

   Тогда, приравнивая отдельно рациональные и иррациональные части, получаем систему:

   $m+n=11,\qquad mn=30$

3. 3

   Решим полученную систему. Это сумма и произведение двух чисел, значит, $m$ и $n$ — корни уравнения $t^2-11t+30=0$:

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-120}}{2}=\frac{11\pm 1}{2}\;\Longrightarrow\;t=6\ \text{или}\ 5$

   То, что дискриминант оказался точным квадратом ($1$), и есть необходимое условие возможности разложения — большинство вложенных радикалов не разлагаются.

4. 4

   Берём корень с правильным знаком. Поскольку квадратный корень неотрицателен, выбираем порядок, при котором разность положительна: $m=6$, $n=5$:

   $\sqrt{11-\sqrt{120}}=\sqrt{\left(\sqrt6-\sqrt5\right)^2}=\left|\sqrt6-\sqrt5\right|=\sqrt6-\sqrt5$

5. 5

   Проверим численно и заметим рационализацию обратного. Численно $\sqrt{120}=10{,}9545$, значит $11-\sqrt{120}=0{,}0455488$, а его корень — $0{,}213422$; в то же время $\sqrt6-\sqrt5=2{,}449490-2{,}236068=0{,}213422$ $\checkmark$ — значения совпадают вплотную. Дополнительно: обратная величина рационализируется просто,

   $\frac{1}{\sqrt6-\sqrt5}=\frac{\sqrt6+\sqrt5}{6-5}=\sqrt6+\sqrt5$

   то есть сумма радикала и его обратного равна $2\sqrt6$.