Решить неравенство a·x² + 2x + 1 > 0 по x при любом действительном a, разобрав все случаи.

Step-by-step solution

1. 1

   Вычислим дискриминант один раз. Для $f(x) = ax^2 + 2x + 1$ (при $a \ne 0$):

   $\Delta = 2^2 - 4a(1) = 4 - 4a = 4(1-a)$

   Знак $\Delta$ и знак $a$ полностью определяют решение, поэтому разбор ведётся по этим двум величинам.

2. 2

   Сначала рассмотрим вырожденный случай a = 0. Квадратичный член исчезает, неравенство становится линейным:

   $2x + 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > -\frac{1}{2}$

   Забывать о возможности $a = 0$ — классическая ошибка в задачах с параметром, ведь старший коэффициент не гарантированно отличен от нуля.

3. 3

   Случай a > 1 (ветви вверх, вещественных корней нет). Здесь $\Delta = 4(1-a) < 0$ и $a > 0$, парабола направлена вверх и не пересекает ось абсцисс:

   $ax^2 + 2x + 1 > 0 \ \text{ при всех } x \in \mathbb{R}$

4. 4

   Случай a = 1 (полный квадрат). $\Delta = 0$, а $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$, что положительно всюду, кроме единственного нуля:

   $x \ne -1$

5. 5

   Случай 0 < a < 1 (ветви вверх, два корня). Теперь $\Delta > 0$, корни равны

   $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4a}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-a}}{a}$

   Парабола, направленная вверх, положительна вне корней:

   $x < \frac{-1-\sqrt{1-a}}{a} \quad \text{или} \quad x > \frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$

6. 6

   Случай a < 0 (ветви вниз). Тогда $1 - a > 1$, значит $\sqrt{1-a} > 1$ и $\Delta > 0$: снова два вещественных корня. Парабола, направленная вниз, положительна между корнями. Поскольку при делении на отрицательный $a$ порядок корней меняется, $\tfrac{-1+\sqrt{1-a}}{a} < 0 < \tfrac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$, и решение:

   $\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a} < x < \frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$

   Проверим на $a = -1$: корни $\tfrac{-1 \pm \sqrt2}{-1}$, то есть $-0.414214$ и $2.414214$, а в середине $x = 1$ значение выражения $-1 + 2 + 1 = 2 > 0$, что подтверждает интервал.