Решить систему x1 − 3x2 + 4x3 = −4, 3x1 − 7x2 + 7x3 = −8, −4x1 + 6x2 + 2x3 = 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем ведущий элемент так, чтобы не появились дроби. В первом уравнении коэффициент при $x_1$ уже равен $1$, поэтому именно им и исключаем $x_1$ из двух остальных. Любой другой выбор сразу привёл бы к третям или четвертям.

2. 2

   Исключаем x1 из второго уравнения. Вычитаем из второго уравнения $3\times$(уравнение 1):

   $(3x_1-7x_2+7x_3)-3(x_1-3x_2+4x_3)=-8-3(-4)$
   $2x_2-5x_3=4.$

3. 3

   Исключаем x1 из третьего уравнения. Прибавляем к третьему уравнению $4\times$(уравнение 1):

   $(-4x_1+6x_2+2x_3)+4(x_1-3x_2+4x_3)=4+4(-4)$
   $-6x_2+18x_3=-12\quad\Longrightarrow\quad x_2-3x_3=2.$

4. 4

   Решаем упрощённую систему 2×2. Из $x_2=2+3x_3$ подставляем в $2x_2-5x_3=4$:

   $2(2+3x_3)-5x_3=4\ \Longrightarrow\ 4+x_3=4\ \Longrightarrow\ x_3=0,$

   а следовательно, $x_2=2$.

5. 5

   Обратной подстановкой находим x1. По первому уравнению:

   $x_1=-4+3x_2-4x_3=-4+6-0=2.$

6. 6

   Проверяем во всех трёх исходных уравнениях. $2-6+0=-4$ ✓; $6-14+0=-8$ ✓; $-8+12+0=4$ ✓. Определитель матрицы коэффициентов равен $6\neq 0$, поэтому найденное решение $(x_1,x_2,x_3)=(2,2,0)$ единственно.