Упростить (4a⁻⁸b² / (12a⁷b⁻⁴)), возведённое в степень 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала рассматривается внешнее действие. Вся дробь возводится в степень $0$. Согласно порядку действий, показатель степени относится ко всей скобке, поэтому внутреннее устройство выражения — каким бы сложным оно ни было — не имеет значения, пока не выяснено, не равна ли основание нулю.

2. 2

   Применяется правило нулевой степени. Для любого ненулевого выражения $u$:

   $u^{0}=1$

   Это правило выводится из свойства степеней: $u^{0}=u^{n-n}=\dfrac{u^{n}}{u^{n}}=1$, что и объясняет, почему $u=0$ исключается — иначе пришлось бы вычислять $\tfrac00$.

3. 3

   Проверяется, что основание не равно нулю. Основание — это $\dfrac{4a^{-8}b^{2}}{12a^{7}b^{-4}}$. Уже наличие отрицательных показателей требует $a\neq0$ и $b\neq0$, а при этих ограничениях числитель $4a^{-8}b^{2}$ — произведение ненулевых множителей, значит, не равен нулю. Следовательно, правило применимо:

   $\left(\frac{4a^{-8}b^{2}}{12a^{7}b^{-4}}\right)^{0}=1$

4. 4

   Обратите внимание, сколько работы удалось избежать. Если бы потребовалось упростить основание, получилось бы $\dfrac{4}{12}a^{-8-7}b^{2-(-4)}=\dfrac{b^{6}}{3a^{15}}$ — верно, но в данной задаче это не требуется, ведь $\left(\dfrac{b^{6}}{3a^{15}}\right)^{0}=1$ всё равно. Если сразу заметить внешний показатель степени, задача решается в одну строку.

5. 5

   Записывается ответ с указанием условия.

   $1,\qquad a\neq0,\ b\neq0$

   Ответ — чистое число $1$ (не $0$ и не выражение с $a$ или $b$). Быстрая проверка: при $a=b=1$ основание равно $\tfrac4{12}=\tfrac13$, и $\left(\tfrac13\right)^{0}=1$ ✓.