Разложите произведение x² + 8x + 16 и x² − 4x + 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим каждый трёхчлен как полный квадрат. Проверяется стандартная форма $a^2\pm 2ab+b^2$:

   $x^2+8x+16=(x+4)^2,\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2$

   Коэффициенты при $x$ подтверждают это: $2\cdot 4=8$ и $2\cdot 2=4$. Благодаря этому можно избежать девяти почленных перемножений.

2. 2

   Объединим два квадрата в один. Поскольку $u^2v^2=(uv)^2$,

   $(x+4)^2(x-2)^2=\bigl[(x+4)(x-2)\bigr]^2$

   В этом и заключается основной приём: сначала перемножаются линейные множители, затем результат возводится в квадрат.

3. 3

   Перемножим два двучлена.

   $(x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8$

   Таким образом, задача сводится к возведению в квадрат трёхчлена $x^2+2x-8$.

4. 4

   Возведём трёхчлен в квадрат по формуле трёх слагаемых. Используется тождество $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, где $a=x^2$, $b=2x$, $c=-8$:

   $a^2=x^4,\ b^2=4x^2,\ c^2=64,\ 2ab=4x^3,\ 2ac=-16x^2,\ 2bc=-32x$

5. 5

   Соберём подобные слагаемые. Два вклада к $x^2$ складываются:

   $x^4+4x^3+(4-16)x^2-32x+64=x^4+4x^3-12x^2-32x+64$

6. 6

   Проверим при $x=1$ и $x=-4$. При $x=1$ исходное выражение даёт $(1+8+16)(1-4+4)=25\cdot 1=25$, а разложение — $1+4-12-32+64=25$. При $x=-4$ исходное обращается в ноль (так как $(x+4)^2=0$), и разложение даёт $256-256-192+128+64=0$. Совпадает.