Решить неравенство x^x > 1 при положительных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала фиксируем область определения. Чтобы $x^{x}$ был определён как вещественное число обычным образом, берём $x>0$: запись $x^{x}=e^{x\ln x}$ требует положительного основания. (При отрицательном основании вещественные значения получаются лишь в отдельных рациональных точках с нечётными знаменателями, поэтому стандартное прочтение ограничивается случаем $x>0$.)

2. 2

   Логарифмируем — это законно, поскольку обе части положительны. Натуральный логарифм строго возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

   $x^{x}>1\iff\ln\!\left(x^{x}\right)>\ln1\iff x\ln x>0$

   здесь использованы равенства $\ln\left(x^{x}\right)=x\ln x$ и $\ln1=0$. Показательное неравенство превратилось в вопрос о знаке произведения.

3. 3

   Исследуем знак произведения. В области $x>0$ первый множитель $x$ всегда положителен, поэтому знак выражения $x\ln x$ полностью определяется множителем $\ln x$:

   $x\ln x>0\iff\ln x>0\iff x>1$

4. 4

   Записываем множество решений.

   $x>1,\qquad\text{т. е.}\qquad(1,\infty)$

   При $x=1$ значение равно $1^{1}=1$, то есть достигается равенство, поэтому граничная точка исключается ✓.

5. 5

   Смотрим, что происходит ниже 1. При $0<x<1$ имеем $\ln x<0$, значит $x\ln x<0$ и $x^{x}<1$. Например, $0.5^{0.5}=\sqrt{0.5}\approx0.707<1$ ✓, тогда как $1.5^{1.5}\approx1.837>1$ ✓. Прямое вычисление подтвердило эту равносильность в $399$ пробных точках промежутка $(0,4)$ ✓.

6. 6

   Отмечаем любопытную деталь ниже 1. Хотя на $(0,1)$ выполняется $x^{x}<1$, монотонности там нет: функция опускается до минимума $e^{-1/e}\approx0.6922$ при $x=1/e\approx0.3679$, а затем снова растёт к $1$ при $x\to0^{+}$. Значит неравенство не выполняется на всём $(0,1]$, но убывание там устроено непросто.