Разделите x³ − 4x + 5 на x − 2 по схеме Горнера и укажите частное и остаток.

Step-by-step solution

1. 1

   Впишем пропущенную степень до начала работы. В делимом нет члена с $x^2$, поэтому запишем его так:

   $x^3+0\cdot x^2-4x+5\;\Longrightarrow\; 1,\;0,\;-4,\;5$

   Для кубического многочлена в строке коэффициентов всегда должно быть четыре числа. Пропустив $0$, мы заставили бы таблицу делить совсем другой многочлен.

2. 2

   Предскажем остаток по теореме Безу. Делитель равен $x-2$, значит $c=2$, а остаток от деления обязан совпасть со значением многочлена в этой точке:

   $f(2)=2^3-4(2)+5=8-8+5=5$

   Итак, ожидаем ненулевой остаток $5$, а $x-2$ множителем не окажется.

3. 3

   Заполним таблицу при $c=2$.

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & 0 & -4 & 5\\ & & 2 & 4 & 0\\ \hline & 1 & 2 & 0 & 5\end{array}$

   Сносим $1$; далее $1\cdot 2=2$ и $0+2=2$; затем $2\cdot 2=4$ и $-4+4=0$; наконец $0\cdot 2=0$ и $5+0=5$. Предсказанный остаток $5$ стоит в последнем столбце.

4. 4

   Прочитаем нижнюю строку как частное. Числа $1,\,2,\,0$ — это коэффициенты квадратного трёхчлена:

   $\text{частное}=x^2+2x+0=x^2+2x=x(x+2),\qquad \text{остаток}=5$

   Завершающий $0$ означает, что у частного нет свободного члена, — поэтому оно так красиво раскладывается на множители.

5. 5

   Запишем и проверим тождество деления.

   $\frac{x^3-4x+5}{x-2}=x^2+2x+\frac{5}{x-2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^3-4x+5=(x-2)(x^2+2x)+5$

   Раскроем произведение: $(x-2)(x^2+2x)=x^3+2x^2-2x^2-4x=x^3-4x$, и прибавление $5$ восстанавливает делимое $\checkmark$. Так как остаток отличен от нуля, число $x=2$ не является корнем многочлена $x^3-4x+5$.