Разложить −c¹⁰n⁶ + 1/49 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Поменяем слагаемые местами, чтобы положительный член стоял первым. Так проще увидеть разность квадратов в виде $A^2-B^2$:

   $-c^{10}n^6+\frac{1}{49}=\frac{1}{49}-c^{10}n^6$

2. 2

   Запишем каждое слагаемое в виде квадрата. Для дроби извлекается корень из числителя и знаменателя; для одночлена показатели делятся пополам:

   $\frac{1}{49}=\left(\frac{1}{7}\right)^2,\qquad c^{10}n^6=\left(c^5n^3\right)^2$

   Деление показателей пополам допустимо, так как $\left(c^5\right)^2=c^{10}$ и $\left(n^3\right)^2=n^6$; оба показателя чётные, значит, выражение — квадрат.

3. 3

   Применим формулу разности квадратов: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Здесь $A=\tfrac17$, $B=c^5n^3$:

   $\frac{1}{49}-c^{10}n^6=\left(\frac{1}{7}-c^5n^3\right)\left(\frac{1}{7}+c^5n^3\right)$

4. 4

   Убедимся, что дальше разложить нельзя. Ни один из множителей не является разностью квадратов (в одном плюс, в другом нечётная степень $c^5$), общих множителей нет. Проверим подстановкой $c=n=1$: исходное $=\tfrac1{49}-1=-\tfrac{48}{49}$, а $\left(\tfrac17-1\right)\left(\tfrac17+1\right)=\left(-\tfrac67\right)\left(\tfrac87\right)=-\tfrac{48}{49}$ $\checkmark$.