Решите неравенство (2 − x)(2x − 3) > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Оставим выражение в разложенном виде и найдём нули. Знак произведения определяется знаками множителей, поэтому раскрывать скобки не требуется:

   $2-x=0\Rightarrow x=2,\qquad 2x-3=0\Rightarrow x=\frac32$

   Эти значения разбивают числовую прямую на промежутки $\left(-\infty,\tfrac32\right)$, $\left(\tfrac32,2\right)$ и $(2,\infty)$.

2. 2

   Проверим знак выражения в каждом промежутке. При $x=0$: $(2)(-3)=-6<0$. При $x=1{,}75$ (между корнями): $(0.25)(0.5)=0.125>0$. При $x=3$: $(-1)(3)=-3<0$. Получается: минус, плюс, минус.

3. 3

   Объясним закономерность через ведущий коэффициент. Если раскрыть скобки, старший член будет $(-x)(2x)=-2x^2$ — это ветви вниз. Для параболы с отрицательным ведущим коэффициентом выражение положительно между корнями и отрицательно вне их — зеркально привычному случаю. Частая ошибка — по привычке писать «вне корней».

4. 4

   Запишем нужный промежуток, учитывая порядок корней. Так как $\tfrac32=1.5<2$:

   $\frac32<x<2$

5. 5

   Исключим концы промежутка. Неравенство строгое, поэтому точки, в которых произведение обращается в ноль, не входят в решение. В интервальной записи: $\left(\tfrac32,2\right)$ — открытый промежуток длиной всего $\tfrac12$.

6. 6

   Проверим результат перебором. Если вычислить выражение в $10{,}001$ точке на $[-5,5]$ и сравнить с $\left(\tfrac32,2\right)$, совпадение будет полным ✓.