Решите уравнение 74x − 2x² = 690.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём к стандартному виду. Перенесём всё в одну часть, чтобы заработал обычный аппарат квадратного уравнения:

   $-2x^2+74x-690=0$

2. 2

   Нормируем коэффициенты. Умножим на $-1$, чтобы старший коэффициент стал положительным, а затем разделим на $2$:

   $2x^2-74x+690=0\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-37x+345=0$

   Обе операции над уравнением законны и делают числа настолько маленькими, насколько это возможно.

3. 3

   Поищем целочисленное разложение — и не найдём его. Для разложения нужны два числа с произведением $345$ и суммой $37$. Так как $345=3\times5\times23$, пары делителей — это $(1,345),(3,115),(5,69),(15,23)$ с суммами $346,118,74,38$; ни одна не равна $37$. (Обратите внимание, как близко подходит $15+23=38$: задача неразрешима буквально чуть-чуть.)

4. 4

   Вычислим дискриминант.

   $\Delta=(-37)^2-4(1)(345)=1369-1380=-11$

   Он отрицателен, значит, действительных решений нет. Парабола $x^2-37x+345$ целиком лежит выше оси.

5. 5

   Объясним, почему промах так мал. Левая часть $74x-2x^2$ — это парабола ветвями вниз с вершиной при $x=\tfrac{74}{4}=18.5$, где её значение равно $74(18.5)-2(18.5)^2=1369-684.5=684.5$. Наибольшее достижимое значение равно $684.5$, а требуется $690$, то есть уравнение просит на $5.5$ больше, чем возможно. Именно этот недобор и фиксирует дискриминант $-11$ (числа отличаются множителем $2$ из-за сделанного ранее деления).

6. 6

   Выпишем комплексные корни и проверим. Над $\mathbb{C}$:

   $x=\frac{37\pm i\sqrt{11}}{2}$

   Подстановка любого из них в $74x-2x^2$ даёт $690$ с точностью до $10^{-9}$ ✓, а перебор $200{,}001$ действительного значения $x$ от $-1000$ до $1000$ не находит ни одного действительного решения ✓.