Решите уравнение 27x³ − 54x² + 36x − 8 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем полный куб, прежде чем браться за формулу Кардано. Первое и последнее слагаемые — точные кубы:

   $27x^{3}=(3x)^{3},\qquad 8=2^{3}.$

   Чередование знаков ($+,-,+,-$) указывает на формулу разности $(a-b)^{3}$, поэтому стоит проверить $a=3x$ и $b=2$ до того, как делать что-то более трудоёмкое. Узнав шаблон, мы превращаем кубическое уравнение в задачу на одну строку.

2. 2

   Раскрываем $(3x-2)^{3}$ и сравниваем. По формуле $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$:

   $(3x-2)^{3}=(3x)^{3}-3(3x)^{2}(2)+3(3x)(2)^{2}-2^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8.$

   Все коэффициенты совпали с исходными. Особенно внимательно проверяем два средних: $3\cdot 9x^{2}\cdot 2=54x^{2}$ и $3\cdot 3x\cdot 4=36x$ — именно они не сошлись бы, окажись догадка неверной.

3. 3

   Переписываем уравнение в разложенном виде. Итак, уравнение равносильно

   $(3x-2)^{3}=0.$

   Куб равен нулю только тогда, когда равно нулю основание, поскольку $t^{3}=0\iff t=0$ и на действительных числах, и на комплексных. Второго случая рассматривать не приходится.

4. 4

   Решаем линейное уравнение. Из $3x-2=0$:

   $3x=2\;\Longrightarrow\;x=\frac{2}{3}.$

   Значит, у кубического уравнения единственный корень $x=\tfrac23$ кратности три — все три корня многочлена третьей степени совпали. Геометрически график в этой точке прижимается к оси $x$, а не пересекает её круто.

5. 5

   Проверяем подстановкой и по теореме Виета. Подстановка: $27\cdot\tfrac{8}{27}-54\cdot\tfrac49+36\cdot\tfrac23-8=8-24+24-8=0$ ✓. Теорема Виета тоже согласуется: сумма трёх корней должна равняться $-\tfrac{-54}{27}=2=3\times\tfrac23$ ✓, а произведение — $\tfrac{8}{27}=\left(\tfrac23\right)^{3}$ ✓.