Докажите тождество x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y).

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор направления доказательства. При доказательстве тождества требуется преобразовать одну часть равенства в другую; переносить слагаемые через знак равно, как при решении уравнения, нельзя. Правая часть выглядит более сложной, поэтому имеет смысл раскрыть её и получить $x^3+y^3$. Такой подход требует только раскрытия скобок, без применения разложения на множители.

2. 2

   Раскрытие куба двучлена. По формуле бинома Ньютона:

   $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

   Обратите внимание, что коэффициенты при смешанных членах равны 3 — именно это позволяет их полностью убрать с помощью корректирующего слагаемого с множителем 3.

3. 3

   Раскрытие корректирующего слагаемого.

   $3xy(x+y)=3xy\cdot x+3xy\cdot y=3x^2y+3xy^2$

   Здесь получаются те же смешанные члены, что и при раскрытии куба.

4. 4

   Вычитание и сокращение смешанных членов.

   $(x+y)^3-3xy(x+y)=\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)-\left(3x^2y+3xy^2\right)=x^3+y^3$

   Смешанные члены полностью сокращаются, остаются только $x^3$ и $y^3$. Таким образом, правая часть равенства совпадает с левой, что завершает доказательство: тождество верно для любых $x$ и $y$.

5. 5

   Почему тождество полезно запомнить. Это выражение позволяет получить $x^3+y^3$ только через элементарные симметрические функции $s=x+y$ и $p=xy$, а именно $x^3+y^3=s^3-3ps$. Такой способ часто используется, когда в задаче известны сумма и произведение корней, но сами корни не заданы.

6. 6

   Проверка на числовом примере. Пусть $x=2,\,y=3$: левая часть равна $8+27=35$; правая часть — $5^3-3\cdot 6\cdot 5=125-90=35$. Значения совпадают, как и предсказывает алгебра.