Найдите все действительные x, удовлетворяющие обоим неравенствам сразу: x² + x − 6 < 0 и x² + 4x − 12 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Решаем каждое неравенство по отдельности, а объединяем результаты потом. Система неравенств — это пересечение, поэтому план такой: найти множество решений каждой строки, а затем оставить только те $x$, которые попали в оба. Начнём с разложения первого трёхчлена:

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

   Его корни — $x=-3$ и $x=2$.

2. 2

   Считываем первое множество решений по виду параболы. Старший коэффициент равен $+1$, значит ветви направлены вверх и парабола опускается ниже оси строго между своими корнями:

   $(x+3)(x-2)<0\quad\Longleftrightarrow\quad -3<x<2$

3. 3

   Раскладываем и решаем второе неравенство. Ищем пару чисел с произведением $-12$ и суммой $4$ — это $6$ и $-2$:

   $x^{2}+4x-12=(x+6)(x-2)$

   Корни — $x=-6$ и $x=2$. Здесь нам нужно, чтобы выражение было выше оси, а для параболы с ветвями вверх это происходит вне корней:

   $x<-6\quad\text{или}\quad x>2$

4. 4

   Пересекаем два множества. Искомые значения должны лежать и в $(-3,2)$, и в $(-\infty,-6)\cup(2,\infty)$:

   $(-3,2)\cap(-\infty,-6)=\varnothing$

   потому что всякое число меньше $-6$ и подавно меньше $-3$. И

   $(-3,2)\cap(2,\infty)=\varnothing$

   потому что промежуток $(-3,2)$ обрывается прямо перед $2$, а второй начинается сразу за ней. Общий корень $x=2$ исключён обоими строгими неравенствами, так что спасти пересечение он не может.

5. 5

   Формулируем вывод. Ни одно действительное число не удовлетворяет обоим неравенствам, значит множество решений пусто:

   $x\in\varnothing$

   Перебор всех $x$ от $-10$ до $10$ с шагом $0.001$ не даёт ни одного значения, проходящего обе проверки, — что согласуется с полученным выводом.