Решите уравнение x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выпишем возможных кандидатов в рациональные корни. У приведённого многочлена с целыми коэффициентами любой рациональный корень делит свободный член $-6$:

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$

   Здесь вероятнее положительные кандидаты: перемены знака в цепочке коэффициентов $1, -6, 11, -6$ указывают именно на положительные корни (по правилу знаков Декарта их три или один).

2. 2

   Найдём первый корень подстановкой. Попробуем $x = 1$:

   $1 - 6 + 11 - 6 = 0 \ \checkmark$

   Значит, $x = 1$ — корень, и по теореме Безу двучлен $(x - 1)$ делит кубический многочлен нацело.

3. 3

   Разделим на найденный множитель по схеме Горнера.

   $\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$

   Нулевой остаток подтверждает корень, а нижняя строка даёт частное — квадратный трёхчлен:

   $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

4. 4

   Разложим квадратный трёхчлен. Два числа с произведением $6$ и суммой $-5$ — это $-2$ и $-3$:

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   поэтому полное разложение таково:

   $(x-1)(x-2)(x-3) = 0$

5. 5

   Применим условие равенства произведения нулю и проверим. Произведение равно нулю, только если равен нулю один из множителей, поэтому

   $x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3$

   Подставим каждый корень в исходное уравнение: $8 - 24 + 22 - 6 = 0$ и $27 - 54 + 33 - 6 = 0$. Дополнительная проверка по теореме Виета: сумма корней должна равняться $-(-6)/1 = 6$, и $1 + 2 + 3 = 6$; произведение должно равняться $-(-6)/1 = 6$, и $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.