Разложите на множители выражение x²/9 минус квадрат дроби (2x/3 − m)/4.

Step-by-step solution

1. 1

   Увидим в обоих слагаемых полные квадраты. Первое равно $\dfrac{x^2}{9}=\left(\dfrac{x}{3}\right)^2$, поскольку $9=3^2$; второе уже записано как квадрат. Значит, при

   $a=\frac{x}{3},\qquad b=\frac{\frac23x-m}{4}$

   выражение — это в точности $a^2-b^2$. Раскрыть скобки тоже можно, но тогда без всякой нужды появятся дроби со знаменателями $9$ и $16$.

2. 2

   Упростим $b$ до применения формулы. Разделив числитель на слагаемые,

   $b=\frac{\frac23x}{4}-\frac{m}{4}=\frac{x}{6}-\frac{m}{4}$

   Деление $\tfrac23x$ на $4$ даёт $\tfrac{x}{6}$, а не $\tfrac{x}{12}$ — частая арифметическая ошибка.

3. 3

   Применим $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и упростим каждый множитель.

   $a-b=\frac{x}{3}-\frac{x}{6}+\frac{m}{4}=\frac{x}{6}+\frac{m}{4}=\frac{2x+3m}{12}$

   $a+b=\frac{x}{3}+\frac{x}{6}-\frac{m}{4}=\frac{x}{2}-\frac{m}{4}=\frac{2x-m}{4}$

4. 4

   Перемножим два множителя.

   $\frac{2x+3m}{12}\cdot\frac{2x-m}{4}=\frac{(2x+3m)(2x-m)}{48}$

5. 5

   Проверим численно. При $x=3$, $m=1$ исходное выражение равно $\tfrac99-\left(\tfrac{2-1}{4}\right)^2=1-\tfrac1{16}=0.9375$, а разложенная форма даёт $\tfrac{(6+3)(6-1)}{48}=\tfrac{45}{48}=0.9375$ ✓. При $x=-2$, $m=5$: исходное $=\tfrac49-\left(\tfrac{-4/3-5}{4}\right)^2=0.4444-2.5069=-2.0625$; разложенное $=\tfrac{(-4+15)(-4-5)}{48}=\tfrac{-99}{48}=-2.0625$ ✓.