Разложите на множители: 4m²n − 8mn² − 2mn.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим наибольший общий делитель по коэффициентам. Числовые коэффициенты: $4,-8,-2$. Их НОД равен $2$.

2. 2

   Определяем общие степени переменных. Во всех слагаемых есть $m$ и $n$ хотя бы в первой степени: степени $m$ — $2,1,1$ (минимум $1$), степени $n$ — $1,2,1$ (минимум $1$). Значит, полный НОД:

   $\gcd=2mn$

3. 3

   Делим каждое слагаемое на $2mn$, записывая частные явно.

   $\frac{4m^2n}{2mn}=2m,\qquad \frac{-8mn^2}{2mn}=-4n,\qquad \frac{-2mn}{2mn}=-1$

   Третье частное — типичная ошибка: когда слагаемое совпадает с НОД (с точностью до знака), оно не исчезает, а оставляет $-1$.

4. 4

   Собираем разложение.

   $4m^2n-8mn^2-2mn=2mn\left(2m-4n-1\right)$

5. 5

   Проверяем, можно ли разложить скобку дальше. $2m-4n-1$ — линейное выражение по $m$ и $n$, общего множителя нет (выносить $2$ мешает $-1$), значит, разложение завершено.

6. 6

   Проверяем раскрытием скобок и подстановкой случайных значений. Раскрывая: $2mn\cdot2m=4m^2n$, $2mn\cdot(-4n)=-8mn^2$, $2mn\cdot(-1)=-2mn$ — всё совпадает. Проверка на $60$ случайных парах $(m,n)$ из $[-5,5]$ также подтверждает равенство с машинной точностью.