Сколько целых решений имеет неравенство (x² - 16)/(1 + 4x - 5x²) ≥ 0?

Step-by-step solution

1. 1

   Раскладываем числитель и знаменатель на множители. В числителе разность квадратов: $x^2-16=(x-4)(x+4)$. В знаменателе сначала выносим минус: $1+4x-5x^2=-(5x^2-4x-1)=-(5x+1)(x-1)$.

2. 2

   Переписываем неравенство с вынесенным минусом. Получаем $\frac{(x-4)(x+4)}{-(5x+1)(x-1)}\ge 0$, то есть $\frac{(x-4)(x+4)}{(5x+1)(x-1)}\le 0$. Здесь важно правильно поменять знак неравенства при делении на минус.

3. 3

   Определяем критические точки и исключения. Числитель обращается в ноль при $x=\pm4$ (эти значения допустимы, так как неравенство нестрогое), знаменатель — при $x=-\frac15$ и $x=1$ (эти значения исключаются). В порядке возрастания критические точки: $-4,\ -\frac15,\ 1,\ 4$.

4. 4

   Строим таблицу знаков. Проверяем знак выражения на каждом промежутке: при $x=-5$ дробь положительна, на $(-4,-\frac15)$ — отрицательна, на $(-\frac15,1)$ — положительна, на $(1,4)$ — отрицательна, при $x>4$ — снова положительна. Значит, неравенство $\le 0$ выполняется на $[-4,-\frac15)\cup(1,4]$.

5. 5

   Выписываем целые числа из найденных промежутков. Из $[-4,-\frac15)$ берём $-4,-3,-2,-1$. Из $(1,4]$ — $2,3,4$. Значения $x=1$ и $x=-\frac15$ исключаются, $x=0$ попадает в область положительных значений и не учитывается.

6. 6

   Считаем и проверяем. Всего $4+3=7$ целых чисел. Проверим $x=-1$ в исходном неравенстве: $\frac{1-16}{1-4-5}=\frac{-15}{-8}=1{,}875\ge 0$; проверим $x=2$: $\frac{4-16}{1+8-20}=\frac{-12}{-11}\approx 1{,}09\ge 0$; проверим $x=5$: $\frac{9}{-104}<0$, правильно не входит в ответ.