Решить неравенство x² > a² относительно x, где a — константа.

Step-by-step solution

1. 1

   Не будем бездумно «извлекать корень из обеих частей». Запись $x>a$ теряет решения и может оказаться просто ложной: при $a=-3$ значение $x=-5$ удовлетворяет $25>9$, хотя $-5>-3$ неверно. Знак $a$ неизвестен, поэтому ответ нужно записать так, чтобы он работал при любом $a$.

2. 2

   Перенесём всё в одну часть и разложим на множители. Так вопрос о знаке сводится к произведению двух линейных множителей:

   $x^{2}-a^{2}>0\qquad\Longrightarrow\qquad(x-a)(x+a)>0$

3. 3

   Произведение положительно, когда оба множителя одного знака, — разберём обе ветви.

   $\text{(i) }x-a>0\ \text{и}\ x+a>0\quad\Longrightarrow\quad x>a\ \text{и}\ x>-a$

   Две оценки снизу объединяются в бо́льшую: $x>\max(a,-a)=|a|$.

   $\text{(ii) }x-a<0\ \text{и}\ x+a<0\quad\Longrightarrow\quad x<a\ \text{и}\ x<-a$

   Две оценки сверху объединяются в меньшую: $x<\min(a,-a)=-|a|$.

4. 4

   Объединим обе ветви в одно утверждение.

   $x^{2}>a^{2}\iff x<-|a|\ \text{ или }\ x>|a|\iff|x|>|a|$

   Значит, множество решений — $\left(-\infty,-|a|\right)\cup\left(|a|,\infty\right)$. Именно модули делают ответ верным при отрицательных $a$, а появляются они из тождества $\max(a,-a)=|a|$.

5. 5

   Проверим при разных знаках, включая вырожденный случай. Сравнение исходного неравенства с заявленным множеством для $19$ значений $a$ (положительных, отрицательных и нуля) и по $31$ значению $x$ на каждое даёт полное совпадение ✓. При $a=0$ ответ вырождается в $|x|>0$, то есть в любое $x$, кроме $0$ ✓ — и это согласовано, ведь $x^{2}>0$ нарушается только при $x=0$.