Упростите (a−2b)² + 8ab.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем скобки по формуле квадрата разности. Используется формула $(p-q)^2=p^2-2pq+q^2$ при $p=a$, $q=2b$:

   $(a-2b)^2=a^2-2(a)(2b)+(2b)^2=a^2-4ab+4b^2$

2. 2

   Прибавим свободный член и приведём подобные. Взаимодействуют только члены с $ab$:

   $a^2-4ab+4b^2+8ab=a^2+4ab+4b^2$

   так как $-4ab+8ab=4ab$.

3. 3

   Распознаем полный квадрат. Теперь $a^2$, $4b^2=(2b)^2$ и средний член $2\cdot a\cdot 2b=4ab$ соответствуют формуле квадрата суммы:

   $a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$

4. 4

   Поясним структурную причину. Квадраты $(a\pm 2b)^2$ различаются ровно на $2\cdot 2\cdot(a)(2b)=8ab$:

   $(a+2b)^2-(a-2b)^2=8ab$

   поэтому добавление $8ab$ к квадрату разности гарантированно даёт квадрат суммы. Это и есть общий смысл задачи.

5. 5

   Проверим на числовом примере. При $a=3$, $b=1$: исходное выражение $(3-2)^2+24=1+24=25$, а $(3+2)^2=25$ $\checkmark$.