Решите неравенство |a − 1| < |2a|.

Step-by-step solution

1. 1

   Обоснуйте возведение в квадрат. Обе части — модули, то есть неотрицательны, а функция $t\mapsto t^2$ строго возрастает на $[0,\infty)$. Поэтому возведение в квадрат даёт равносильное неравенство, а не только следствие, — посторонние решения появиться не могут:

   $(a-1)^2<(2a)^2$

   В этом и главное преимущество перед разбором четырёх комбинаций знаков.

2. 2

   Раскройте скобки и соберите всё в одной части.

   $a^2-2a+1<4a^2\;\Longrightarrow\;0<3a^2+2a-1$

   то есть нужно решить $3a^2+2a-1>0$.

3. 3

   Разложите квадратный трёхчлен на множители. Ищем числа с произведением $3\cdot(-1)=-3$ и суммой $2$ — это $3$ и $-1$:

   $3a^2+3a-a-1=3a(a+1)-1(a+1)=(3a-1)(a+1)$

   значит критические точки — $a=-1$ и $a=\tfrac13$.

4. 4

   Определите знаки по ветвям параболы. Старший коэффициент $3$ положителен, поэтому $(3a-1)(a+1)$ положительно вне корней и отрицательно между ними:

   $a<-1\qquad\text{или}\qquad a>\frac{1}{3}$

5. 5

   Проверьте по одной точке в каждой из трёх областей. При $a=-2$: $|-3|=3<|-4|=4$ $\checkmark$. При $a=0$: $|-1|=1<|0|=0$ — ложно $\checkmark$ (точка справедливо исключена). При $a=1$: $|0|=0<|2|=2$ $\checkmark$. Концы исключены, потому что в них обе части равны.