Решите уравнение относительно x: x = 0.4 · 200 + 0.4x.

Step-by-step solution

1. 1

   Вычислим числовое произведение. $0.4\times200=80$, поэтому

   $x=80+0.4x$

   Теперь неизвестное стоит в обеих частях — это и есть единственная настоящая трудность задачи.

2. 2

   Поймём, почему нельзя просто разделить. Прочитать уравнение как $x=80/0.4=200$ означало бы не заметить $0.4x$ справа. Поскольку $x$ частично определён через самого себя, слагаемые с $x$ нужно собрать вместе до всякого деления.

3. 3

   Перенесём 0.4x влево. Вычтем $0.4x$ из обеих частей и вынесем общий множитель:

   $x-0.4x=80\qquad\Longrightarrow\qquad (1-0.4)x=80\qquad\Longrightarrow\qquad 0.6x=80$

   Рабочим коэффициентом оказывается $1-0.4=0.6$, а не $0.4$.

4. 4

   Разделим на 0.6.

   $x=\frac{80}{0.6}=\frac{800}{6}=\frac{400}{3}=133.\overline{3}\approx133.33$

   Точная дробь $\tfrac{400}{3}$ — более аккуратная форма ответа, ведь десятичная запись периодическая.

5. 5

   Сравним с родственными случаями. Общее решение уравнения $x=c\cdot200+cx$ имеет вид $x=\dfrac{200c}{1-c}$: при $c=0.3$ оно даёт $\tfrac{600}{7}\approx85.71$, при $c=0.35$ — $\tfrac{1400}{13}\approx107.69$, а при $c=0.4$ — $\tfrac{400}{3}\approx133.33$. Рост ускоряется по мере приближения $c$ к $1$, где уравнение решений уже не имеет.

6. 6

   Проверим подстановкой. При $x=\tfrac{400}{3}$ правая часть равна $80+0.4\cdot\tfrac{400}{3}=80+\tfrac{160}{3}=\tfrac{240+160}{3}=\tfrac{400}{3}$ ✓ — в точной дробной арифметике она совпадает с левой.