Разложить a² + b² на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Почему вещественных чисел недостаточно. Разность квадратов $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ имеет разложение, но для суммы квадратов над $\mathbb{R}$ такого разложения нет. Если рассматривать $a^{2}+b^{2}$ как квадратное уравнение относительно $a$, то его дискриминант равен $0-4b^{2}=-4b^{2}<0$ при $b\neq0$, то есть вещественных корней нет, а значит, вещественных линейных множителей не существует.

2. 2

   Вводим мнимую единицу. При $i^{2}=-1$ сумму можно переписать как разность:

   $a^{2}+b^{2}=a^{2}-\left(-b^{2}\right)=a^{2}-(bi)^{2}$

   Поскольку $(bi)^{2}=b^{2}i^{2}=-b^{2}$, это и есть основной приём — над $\mathbb{C}$ любая сумма квадратов превращается в разность квадратов.

3. 3

   Применяем формулу разности квадратов при $A=a$, $B=bi$:

   $a^{2}+b^{2}=(a-bi)(a+bi)$

4. 4

   Проверяем раскрытием скобок.

   $(a+bi)(a-bi)=a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}=a^{2}-b^{2}(-1)=a^{2}+b^{2}\ \checkmark$

   Перекрёстные члены взаимно уничтожаются, а $i^{2}=-1$ превращает разность в сумму. Проверено для всех $121$ целых пар с $-5\le a,b\le5$ ✓.

5. 5

   Где это используется. Оба множителя — комплексно сопряжённые, и их произведение $(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|a+bi|^{2}$ — это квадрат модуля комплексного числа $a+bi$. Именно это тождество применяется при рационализации знаменателя: умножение на сопряжённое убирает $i$ и оставляет вещественное число $a^{2}+b^{2}$.