Решить x³ − 245,711x² + 2,764156x + 0,074296 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Поймём, почему корни делятся на один большой и два малых. В уравнении $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.074296=0$ квадратный коэффициент значительно превышает остальные. По теореме Виета сумма трёх корней равна $245.711$, а их произведение — $-0.074296$, то есть почти ноль. Значит, один корень должен почти полностью давать сумму, а два других быть настолько малы, чтобы произведение оставалось близким к нулю. Такое строение позволяет разбить задачу на две простые части.

2. 2

   Найдём два малых корня, отбросив $x^{3}$. Если $|x|$ порядка сотых, то $x^{3}$ порядка $10^{-5}$ — совершенно незначительно по сравнению с $245.711x^{2}$. Отбрасывая $x^{3}$, получаем квадратное уравнение $245.711x^{2}-2.764156x-0.074296=0,$ дискриминант которого $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.074296)=80.6619362163,\qquad \sqrt{D}=8.9811990411.$ По формуле корней квадратного уравнения получаем $x\approx -0.012651129\quad\text{и}\quad x\approx 0.023900751.$

3. 3

   Уточним оба корня одним шагом Ньютона. Отброшенный $x^{3}$ сдвигает каждый корень лишь в седьмом знаке после запятой, и применение метода Ньютона $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ к исходному кубическому уравнению даёт $x=-0.012650903\qquad\text{и}\qquad x=0.023902272.$ По сравнению с оценками из квадратного разница составляет $2.3\times 10^{-7}$ и $1.5\times 10^{-6}$, что подтверждает: отброшенный член действительно мал — порядка $10^{-5}$ против $245.711x^{2}$ порядка $10^{-1}$.

4. 4

   Большой корень найдём по сумме корней, а не по формуле кубического. Так как сумма трёх корней должна равняться $245.711$, $x_{\text{большой}}=245.711-\left(-0.012650903+0.023902272\right)=245.699748632.$ Подстановка этого значения в $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.074296$ даёт ноль с точностью до двенадцатого знака.

5. 5

   Проверим по обеим формулам Виета. Три корня $-0.012650903$, $0.023902272$ и $245.699748632$ в сумме дают ровно $245.711000000$, а их произведение — $-0.074296$, что совпадает с $-c$, как и требуется. Важно именно произведение: пара малых корней может быть ошибочной и всё равно дать правильную сумму, так как большой корень просто компенсирует разницу — только произведение выявляет ошибку.

6. 6

   Запишем ответ. $x=-0.012650903,\qquad x=0.023902272,\qquad x=245.699748632.$ Все три корня вещественные, что соответствует кубическому уравнению с пересечением оси чуть ниже и чуть выше нуля, а также далеко вправо при $245.7$.