Вычислите сумму (i² − 1) при i от 2 до 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим, что означает запись суммы. Индекс $i$ принимает значения $2,3,4,5$ — всего четыре слагаемых, так как оба предела включаются. Для каждого значения $i$ подставляется в выражение $i^2-1$, затем результаты складываются.

2. 2

   Вычислим каждое слагаемое. При $i=2$: $4-1=3$. При $i=3$: $9-1=8$. При $i=4$: $16-1=15$. При $i=5$: $25-1=24$. Заметим, что каждое слагаемое можно записать как $i^2-1=(i-1)(i+1)$, то есть получаются произведения $1\cdot3$, $2\cdot4$, $3\cdot5$, $4\cdot6$.

3. 3

   Сложим все четыре слагаемых. $3+8+15+24 = 50.$ Удобно сгруппировать: $3+24=27$ и $8+15=23$, затем $27+23=50$.

4. 4

   Проверим с помощью формул для суммы. Разобьём сумму: $\sum_{i=2}^{5} i^2 - \sum_{i=2}^{5} 1$. Первая часть — это $\tfrac{5\cdot6\cdot11}{6}-1 = 55-1 = 54$ (сумма квадратов до $5$, вычитаем $i=1$), вторая — просто $4$. Получаем $54-4=50$, что совпадает с предыдущим результатом.

5. 5

   Обратим внимание на два типичных подвоха. Если начать индекс с $1$, добавится $1^2-1=0$, и ответ случайно не изменится; но если вычесть $1$ только один раз в конце ($54-1=53$), получится ошибка — ведь $-1$ входит в каждое слагаемое и должен вычитаться четыре раза.