Соотношение y = a x^b нелинейно. Преобразуйте его к линейному виду Y = mX + c и укажите Y, X, m и c.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, где находится неизвестная константа. Здесь $b$ — это показатель степени при переменной $x$, а не при константе. Это определяет способ преобразования: для степенного закона логарифм берётся и по $y$, и по $x$, тогда как для показательного закона $y=ab^{x}$ достаточно взять логарифм только по $y$.

2. 2

   Возьмём логарифмы обеих частей.

   $\log y=\log\!\left(a\,x^{b}\right)$

3. 3

   Разобьём логарифм произведения. По формуле $\log(MN)=\log M+\log N$:

   $\log y=\log a+\log\!\left(x^{b}\right)$

4. 4

   Вынесем показатель степени. По формуле $\log(x^{b})=b\log x$:

   $\log y=b\log x+\log a$

5. 5

   Сопоставим с $Y=mX+c$.

   $\underbrace{\log y}_{Y}=\underbrace{b}_{m}\underbrace{\log x}_{X}+\underbrace{\log a}_{c}$

   Построив график зависимости $\log y$ от $\log x$ (логарифмический график по обеим осям), получаем прямую, у которой угловой коэффициент равен показателю $b$, а свободный член — $\log a$.

6. 6

   Проверим на числовом примере. Пусть $a=3, b=2, x=4$, тогда $y=3\cdot 16=48$. Далее, $\log_{10}48=1.6812$, а $b\log_{10}4+\log_{10}3=2(0.6021)+0.4771=1.6812$ ✓. Восстановление констант: $b=m$, $a=10^{c}$.