Найдите решения уравнения 7 + 2(5x + 2x²) = 16, записав каждый ответ через радикал в простейшем виде.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскрываем скобку и переносим всё в одну часть.

   $7+10x+4x^{2}=16\quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+10x-9=0.$

   Записываем слагаемые по убыванию степеней, чтобы коэффициенты $a=4$, $b=10$, $c=-9$ считывались сразу.

2. 2

   Сначала пробуем разложить на множители. Понадобились бы два целых числа с произведением $4\cdot(-9)=-36$ и суммой $10$; ближайшие пары — $(-2,18)$ и $(12,-3)$ с суммами $16$ и $9$. Ничего не подходит, значит корни иррациональны и в ответе действительно будет радикал.

3. 3

   Вычисляем дискриминант.

   $b^{2}-4ac=10^{2}-4(4)(-9)=100+144=244.$

4. 4

   Упрощаем радикал до деления. Так как $244=4\cdot 61$, а $61$ — простое число, то

   $\sqrt{244}=2\sqrt{61}.$

   Именно это упрощение позволяет затем сократить дробь; если оставить $\sqrt{244}$, ответ будет верным, но неупрощённым.

5. 5

   Применяем формулу корней и сокращаем на общий множитель 2.

   $x=\frac{-10\pm 2\sqrt{61}}{2\cdot 4}=\frac{2\left(-5\pm\sqrt{61}\right)}{8}=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{4}.$

6. 6

   Проверяем по теореме Виета и по десятичной прикидке. Сумма корней равна $\tfrac{-10}{4}=-2.5$, произведение — $\tfrac{-9}{4}=-2.25$. Численно $\sqrt{61}=7.8102$, поэтому корни равны $0.70256$ и $-3.20256$; их сумма $-2.5$, произведение $-2.25$ — оба значения верны.