Решите неравенство 7|w − 6| ≥ 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Выделите модуль, прежде чем что-либо разбивать. Правила раскрытия $|A|$ применимы только тогда, когда модуль стоит отдельно. Здесь он умножен на $7$, поэтому разделите обе части на положительное число $7$ (знак не меняется):

   $|w-6|\ge\frac{2}{7}$

2. 2

   Модуль со знаком «не меньше» распадается на два луча. Неравенство $|A|\ge b$ при $b>0$ означает, что расстояние от $A$ до $0$ не меньше $b$, а это выполняется по обе стороны вдали от начала координат, а не между ними:

   $w-6\le-\frac{2}{7}\qquad\text{или}\qquad w-6\ge\frac{2}{7}$

   Связка здесь — или, но никак не и: ни одно $w$ не может быть одновременно далеко слева и далеко справа.

3. 3

   Решите каждую ветвь, прибавив 6. Переведите $6$ в седьмые доли, чтобы дроби сложились аккуратно: $6=\tfrac{42}{7}$:

   $w\le\frac{42}{7}-\frac{2}{7}=\frac{40}{7}\qquad\text{или}\qquad w\ge\frac{42}{7}+\frac{2}{7}=\frac{44}{7}$

4. 4

   Запишите множество решений. В виде промежутков

   $\left(-\infty,\tfrac{40}{7}\right]\cup\left[\tfrac{44}{7},\infty\right)$

   Оба конца включены, потому что исходное неравенство допускало равенство. Численно выброшенный промежуток — это короткий интервал $(5.714\ldots,\,6.285\ldots)$ с центром в $w=6$.

5. 5

   Проверьте границу и выброшенный промежуток. При $w=\tfrac{40}{7}$: $7\left|\tfrac{40}{7}-6\right|=7\cdot\tfrac{2}{7}=2\ge2$ ✓ (равенство, значит конец входит в ответ). В центре $w=6$: $7|0|=0$, что не $\ge2$ ✗ — это подтверждает разрыв. Сравнение исходного неравенства с найденным множеством в $500$ точных рациональных точках совпадает всюду ✓.