Решите неравенство x² - 4x - 5 > 0 и запишите ответ в виде интервалов.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём неравенство к стандартному виду и разложим на множители. Правая часть уже равна $0$, поэтому разложим квадратный трёхчлен на множители. Требуется найти такие два числа, произведение которых равно $-5$, а сумма — $-4$: это $-5$ и $+1$. Получаем:

   $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$

   Тогда неравенство принимает вид $(x-5)(x+1)>0$.

2. 2

   Найдём критические точки — нули множителей. Приравниваем каждый множитель к нулю:

   $x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   Именно в этих точках выражение может менять знак, так как произведение меняет знак только там, где меняет знак один из множителей.

3. 3

   Разобьём числовую прямую на три получившихся интервала.

   $(-\infty,-1),\qquad (-1,5),\qquad (5,\infty)$

   Внутри каждого интервала знак выражения $(x-5)(x+1)$ сохраняется, поэтому достаточно проверить по одной точке из каждого промежутка.

4. 4

   Проверим по одной точке в каждом интервале.

   $x=-2:\ (-7)(-1)=7>0\quad\checkmark$

   $x=0:\ (-5)(1)=-5<0\quad\times$

   $x=6:\ (1)(7)=7>0\quad\checkmark$

   Получилась закономерность: положительно — отрицательно — положительно, что характерно для параболы, ветви которой направлены вверх и есть два различных корня.

5. 5

   Запишем множество решений, не включая корни. Неравенство строгое ($>0$, а не $\ge 0$), поэтому точки $x=-1$ и $x=5$, где выражение обращается в ноль, не входят в ответ:

   $x<-1\ \text{ или }\ x>5,\qquad (-\infty,-1)\cup(5,\infty)$

   Обратите внимание на объединение: решение — это два отдельных луча, а не один промежуток, поэтому нельзя записать в виде двойного неравенства типа $-1>x>5$.