Разложить 3x⁵ + 9x⁴ + 4x³ - 9x² - 15x - 10 на множители и указать все его вещественные корни.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем рациональный корень. Возможные рациональные корни по теореме о рациональных корнях имеют вид $\pm\frac{p}{q}$, где $p\mid 10$, $q\mid 3$: $\pm1,\pm2,\pm5,\pm10,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac53,\pm\tfrac{10}{3}$. Проверим $x=-2$:

   $3(-32)+9(16)+4(-8)-9(4)-15(-2)-10=-96+144-32-36+30-10=0,$

   значит, $x=-2$ — корень, а $(x+2)$ — множитель. Попытка сгруппировать члены не даёт результата, поэтому подбор рационального корня — верный первый шаг.

2. 2

   Выполним деление на $(x+2)$ с помощью схемы Горнера. Записываем коэффициенты: $3,\;9,\;4,\;-9,\;-15,\;-10$ и последовательно умножаем на $-2$, получая строку $3,\;3,\;-2,\;-5,\;-5$ с остатком $0$:

   $3x^{5}+9x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-15x-10=(x+2)\left(3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5\right).$

   Нулевой остаток подтверждает, что корень найден верно.

3. 3

   Покажем, что у биквадратного нет рациональных корней, и разложим его на квадратные множители. Проверим $\pm1,\pm5,\pm\tfrac13,\pm\tfrac53$ для $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5$ — ни один не обращает многочлен в ноль (например, при $x=-1$ значение $-2$), значит, линейных множителей над $\mathbb{Q}$ больше нет. Тогда положим:

   $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5=(3x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d).$

4. 4

   Подберём коэффициенты, приравняв их к соответствующим членам. Раскрывая скобки, получаем

   $3x^{4}+(3c+a)x^{3}+(3d+ac+b)x^{2}+(ad+bc)x+bd,$

   то есть $3c+a=3$, $3d+ac+b=-2$, $ad+bc=-5$, $bd=-5$. Если взять $b=-5$, то $d=1$, далее $c=1$, $a=0$ — все четыре уравнения выполняются. Значит,

   $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5=(3x^{2}-5)(x^{2}+x+1).$

   Проверка раскрытием скобок: $3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}-5x^{2}-5x-5=3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5$ — всё верно.

5. 5

   Запишем итоговое разложение и найдём вещественные корни.

   $3x^{5}+9x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-15x-10=(x+2)(3x^{2}-5)(x^{2}+x+1).$

   Приравнивая множители к нулю: $x=-2$; $3x^{2}=5$ даёт $x=\pm\sqrt{\tfrac53}=\pm\tfrac{\sqrt{15}}{3}\approx\pm1.290994$; $x^{2}+x+1$ имеет дискриминант $1-4=-3<0$, вещественных корней не даёт. Значит, всего три вещественных корня.

6. 6

   Проверим численно. Численное решение уравнения пятой степени даёт $-2$, $\pm1.2909944$ и пару комплексных корней $-0.5\pm0.8660254i$ — это именно $-\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$, то есть примитивные кубические корни из $x^{2}+x+1$ — всё совпадает.