Разложите x³ + x² − 4x − 4 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор группировки и обоснование метода. При наличии ровно четырёх слагаемых и отсутствии общего множителя для всех, стандартным первым шагом является группировка по парам. Этот способ работает, если после выделения множителей в каждой паре остаётся одинаковый двучлен — это и проверим далее.

2. 2

   Разделим на две пары.

   $x^3+x^2-4x-4=\left(x^3+x^2\right)+\left(-4x-4\right)$

   Знаки при слагаемых сохраняются при группировке, чтобы избежать типичной ошибки со знаком во второй паре.

3. 3

   Вынесем общий множитель из каждой пары. В первой паре выносим $x^2$, во второй — $-4$ (именно минус, чтобы двучлены совпали):

   $x^3+x^2=x^2(x+1),\qquad -4x-4=-4(x+1)$

   В обеих парах остался $(x+1)$ — значит, группировка выбрана верно.

4. 4

   Вынесем общий двучлен за скобки.

   $x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)\left(x^2-4\right)$

5. 5

   Далее — разность квадратов. $x^2-4=x^2-2^2$, значит,

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$

   Следовательно,

   $x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2)$

   Остановка на $(x+1)(x^2-4)$ не даёт полного разложения.

6. 6

   Проверим раскрытием скобок и подстановкой значений. Подстановка целых $x$ от $-40$ до $39$ показывает полное совпадение исходного многочлена и произведения ✓. Корни $-1,\ 2,\ -2$ легко проверить отдельно: $(-1)^3+(-1)^2+4-4=0$, $8+4-8-4=0$, $-8+4+8-4=0$ ✓.