Упростить (√a + 1)/(a − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Замечается скрытая разность квадратов. Для $a\ge 0$ имеем $a=\left(\sqrt a\right)^{2}$ и $1=1^{2}$, поэтому знаменатель можно разложить:

   $a-1=\left(\sqrt a\right)^{2}-1^{2}=\left(\sqrt a-1\right)\left(\sqrt a+1\right)$

   Это основной шаг — без него ничего в дроби не сокращается.

2. 2

   Перепишем дробь с разложенным знаменателем:

   $\frac{\sqrt a+1}{\left(\sqrt a-1\right)\left(\sqrt a+1\right)}$

3. 3

   Сократим общий множитель. Так как $a\ge 0$, $\sqrt a+1\ge 1>0$, сокращение всегда допустимо — дополнительных ограничений не появляется:

   $\frac{1}{\sqrt a-1}$

4. 4

   Укажем область определения. В исходном выражении требуется $a\ge 0$ (для существования корня) и $a\neq 1$ (знаменатель не равен нулю); в упрощённой форме остаются те же два ограничения, ведь $\sqrt a-1=0$ только при $a=1$.

   $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt a-1}\qquad(a\ge 0,\ a\neq 1)}$

5. 5

   Проверим на числовых значениях. При $a=9$: исходное выражение $=\dfrac{3+1}{9-1}=\dfrac48=0.5$, упрощённое $=\dfrac{1}{3-1}=0.5$ ✓. При $a=0.25$: исходное $=\dfrac{0.5+1}{0.25-1}=\dfrac{1.5}{-0.75}=-2$, упрощённое $=\dfrac{1}{0.5-1}=-2$ ✓ — работает и для отрицательной ветви $0\le a<1$.