Решить неравенство a(x−4)² + b < 10 по x, считая a и b параметрами.

Step-by-step solution

1. 1

   Выделим квадрат: вычтем $b$ из обеих частей неравенства:

   $a(x-4)^2<10-b$

   Делить на $a$ пока нельзя, так как $a$ может быть равно нулю или быть отрицательным — именно это и требует разбора по случаям.

2. 2

   Рассмотрим случай $a=0$, так как тогда $x$ исчезает из неравенства. Получаем неравенство только по параметру: $b<10$, которое не зависит от $x$:

   $b<10\Rightarrow x\in\mathbb{R};\qquad b\ge 10\Rightarrow x\in\varnothing$

3. 3

   Случай $a>0$: делим обе части на положительное $a$, знак неравенства сохраняется:

   $(x-4)^2<\frac{10-b}{a}$

   Если $b\ge 10$ правая часть $\le 0$, а квадрат не может быть строго меньше нуля или нуля — множество решений пусто. Если $b<10$, правая часть положительна, и $|x-4|<\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$, то есть ограниченный интервал

   $4-\sqrt{\frac{10-b}{a}}<x<4+\sqrt{\frac{10-b}{a}}$

4. 4

   Случай $a<0$: делим на отрицательное $a$, знак неравенства меняется на противоположный:

   $(x-4)^2>\frac{10-b}{a}$

   Следим за знаком дроби: при $a<0$, $b<10$ делает $\tfrac{10-b}{a}$ отрицательным, а квадрат всегда больше отрицательного числа, значит, неравенство выполняется при любом $x$ — ответ $\mathbb{R}$. Если $b=10$, справа $0$ и $(x-4)^2>0$ выполняется при всех $x$, кроме $x=4$.

5. 5

   Случай $a<0$ и $b>10$: теперь $\tfrac{10-b}{a}>0$ (отрицательное делим на отрицательное), обозначим $c=\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$, тогда $|x-4|>c$:

   $x<4-c\quad\text{или}\quad x>4+c$

6. 6

   Проверим два из семи случаев на числовых примерах. Пусть $a=2$, $b=2$: получаем интервал $4\pm\sqrt{4}=(2,6)$, и действительно, при $x=3$ имеем $2(1)+2=4<10$ $\checkmark$, а при $x=7$ — $2(9)+2=20\not<10$ $\checkmark$. Пусть $a=-1$, $b=19$: $c=\sqrt{9}=3$, ожидаем $x<1$ или $x>7$; при $x=0$ — $-16+19=3<10$ $\checkmark$, при $x=4$ — $19\not<10$ $\checkmark$.