Объясните, почему x = 3 исключается из области определения функции f(x) = (x² − 4x + 3)/(x² − 9), хотя множитель x − 3 сокращается.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскладываем на множители обе части до разговора об области определения.

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$

   поэтому

   $f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

   Множитель $x-3$ стоит и сверху, и снизу — именно это и сбивает с толку в данном случае.

2. 2

   Область определения задаётся исходным знаменателем, до всякого сокращения. Приравняем его к нулю:

   $x^2-9=0\quad\Longrightarrow\quad x=3 \text{ или } x=-3$

   Подстановка $x=3$ в нетронутую формулу даёт

   $f(3)=\frac{9-12+3}{9-9}=\frac{0}{0}$

   а это не число. Деление на нуль лишено смысла: не существует $y$, для которого $0\cdot y$ равнялось бы заданному ненулевому числу, а когда и числитель равен $0$, подошёл бы любой $y$, так что никакого одного значения назначить нельзя.

3. 3

   Сокращение меняет формулу, но не функцию. При любом $x\neq 3$

   $f(x)=\frac{x-1}{x+3}$

   но это упрощённое выражение задаёт другую функцию, если не сохранить рядом с ним ограничение $x\neq 3$. Упрощение выражения никогда не добавляет точек в область определения — оно лишь переписывает правило на той области, которая уже была.

4. 4

   Различаем две исключённые точки — они разного типа. При $x=-3$ обращается в нуль только знаменатель, поэтому $|f(x)|\to\infty$: это вертикальная асимптота. При $x=3$ числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно, поэтому у графика устранимый разрыв — выколотая точка. Её высота равна пределу сокращённой формы:

   $\lim_{x\to 3}\frac{x-1}{x+3}=\frac{2}{6}=\frac13$

   Численно $f(3.00001)\approx 0.333334$, что подтверждает: график приближается к $\tfrac13$, но никогда его не достигает.

5. 5

   Записываем область определения.

   $\operatorname{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}: x\neq 3,\ x\neq -3\}=(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)$

   Точка $(3,\tfrac13)$ изображается на графике светлым кружком: кривая подходит к ней сколь угодно близко, но $x=3$ в область определения не входит.