Решите неравенство 4x² − 4x + 1 < 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим, не является ли выражение полным квадратом. Крайние слагаемые — это квадраты: $4x^2=(2x)^2$ и $1=1^2$, а средний коэффициент $-2\cdot(2x)\cdot 1 = -4x$. Это полностью соответствует формуле $a^2-2ab+b^2$, значит, $4x^2-4x+1=(2x-1)^2.$

2. 2

   Проверим это через дискриминант. $\Delta = (-4)^2-4(4)(1) = 16-16 = 0$. Нулевой дискриминант означает единственный корень, что подтверждает: квадратный трёхчлен — полный квадрат с единственным корнем $x=\tfrac12$.

3. 3

   Используем свойство квадратов. Для любого вещественного $x$ выражение $(2x-1)^2 \ge 0$. Квадрат может быть равен нулю, но не может быть строго отрицательным, поэтому условие $(2x-1)^2 < 0$ никогда не выполняется.

4. 4

   Делаем вывод: решений нет. $4x^2-4x+1<0 \iff (2x-1)^2<0 \iff \varnothing.$ Геометрически парабола направлена вверх и касается оси $x$ в точке $x=\tfrac12$, не опускаясь ниже неё.

5. 5

   Сравним с соседними случаями, чтобы не потерять строгость. $(2x-1)^2 \le 0$ имеет единственное решение $x=\tfrac12$; $(2x-1)^2 > 0$ выполняется при всех $x$, кроме $x=\tfrac12$; а $(2x-1)^2 \ge 0$ — при всех вещественных $x$. Только строгое неравенство $<$ даёт пустое множество.