Решите уравнение √(2x + 1) = x − 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим область допустимых значений перед возведением в квадрат. Левая часть — это арифметический квадратный корень, значит, она $\ge 0$; правая часть также должна быть $\ge 0$, то есть $x \ge 1$. Подкоренное выражение требует $2x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -\tfrac12$, что слабее. Основное ограничение:

   $x \ge 1$

   Возведение в квадрат не является обратимой операцией, поэтому это условие и отделит действительные корни от посторонних далее.

2. 2

   Возведём обе части в квадрат.

   $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

3. 3

   Перенесём всё в одну часть и разложим на множители.

   $0 = x^2 - 4x = x(x-4) \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \ \text{или}\ x = 4$

   Константа $1$ сократилась с обеих сторон, поэтому квадратное уравнение так хорошо раскладывается.

4. 4

   Проверим оба найденных значения на область допустимых значений и исходное уравнение. $x = 0$ не удовлетворяет $x \ge 1$; подставим всё равно: $\sqrt{1} = 1$ слева, а $0 - 1 = -1$ справа, то есть это посторонний корень — он решает только возведённое в квадрат уравнение. Для $x = 4$: $\sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3$, а $4 - 1 = 3$. Всё верно.

5. 5

   Запишем окончательный ответ.

   $x = 4$

   Геометрически график $y = \sqrt{2x+1}$ и прямая $y = x - 1$ пересекаются ровно в одной точке — $(4,3)$; точка $x = 0$ — это пересечение прямой с отражённой ветвью $y = -\sqrt{2x+1}$, которую возведение в квадрат автоматически добавило.