Решить систему x² + y = 2 и −x² + y = 10.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем исключение, ради которого система и составлена. В двух уравнениях стоят $+x^{2}$ и $-x^{2}$, поэтому простое сложение полностью убирает $x$ — ни подстановка, ни возведение в квадрат не нужны.

2. 2

   Складываем уравнения.

   $(x^{2}+y)+(-x^{2}+y)=2+10\quad\Longrightarrow\quad 2y=12\quad\Longrightarrow\quad y=6$

3. 3

   Подставляем y = 6 обратно в любое из уравнений. Возьмём первое:

   $x^{2}+6=2\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=-4$

4. 4

   Истолковываем невозможное равенство. Квадрат любого вещественного числа $\ge 0$, поэтому у $x^{2}=-4$ нет вещественных решений. А так как $y$ был однозначно равен $6$, вещественной пары $(x,y)$, удовлетворяющей обоим уравнениям, не существует.

   $\boxed{\text{Вещественных решений нет}}$

5. 5

   Подтверждаем вторым уравнением и геометрией. Подстановка $y=6$ в $-x^{2}+y=10$ даёт $-x^{2}=4$, то есть снова $x^{2}=-4$ — то же противоречие, значит алгебраической ошибки не было. Геометрически: $y=2-x^{2}$ — парабола ветвями вниз с вершиной $(0,2)$, а $y=10+x^{2}$ — парабола ветвями вверх с вершиной $(0,10)$; первая никогда не поднимается выше $y=2$, вторая никогда не опускается ниже $y=10$, поэтому их графики пересечься не могут.

6. 6

   Отметим комплексные решения, если они допускаются условием. Над комплексными числами $x^{2}=-4$ даёт $x=\pm 2i$, поэтому пары $(2i,6)$ и $(-2i,6)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Варианты ответа вроде $(4,-14)$, $(-4,-14)$ или $(0,2)$ не удовлетворяют ни одному из уравнений и отсеиваются прямой подстановкой.