Полностью упростите разность многочленов a³b + 9a²b² − 4ab⁵ и a³b − 3a²b² + ab⁵, затем укажите, сколько членов в результате и какова его степень.

Step-by-step solution

1. 1

   Прежде всего запишем вычитание со скобками. «Разность $P$ и $Q$» означает $P-Q$ именно в таком порядке, причём второй многочлен обязательно берётся в скобки:

   $\big(a^3b+9a^2b^2-4ab^5\big)-\big(a^3b-3a^2b^2+ab^5\big)$

   Забыть скобку и вычесть только первый член $Q$ — самая частая ошибка в задачах этого типа, и она меняет и число членов, и степень ответа.

2. 2

   Раскроем минус перед скобкой, изменив знак каждого члена второго многочлена. Все знаки меняются на противоположные:

   $a^3b+9a^2b^2-4ab^5\;-\;a^3b\;+\;3a^2b^2\;-\;ab^5$

   Заметим, что $-(-3a^2b^2)=+3a^2b^2$, а $-(+ab^5)=-ab^5$: два знака из трёх меняются, и именно поэтому средние члены складываются, а не взаимно уничтожаются.

3. 3

   Приведём подобные члены. Члены подобны только тогда, когда обе переменные входят с одинаковыми показателями:

   $a^3b-a^3b=0$

   $9a^2b^2+3a^2b^2=12a^2b^2$

   $-4ab^5-ab^5=-5ab^5$

   Значит, полностью упрощённая разность равна

   $12a^2b^2-5ab^5$

   Члены $a^3b$ в обоих многочленах совпадали, поэтому они уничтожились — именно из-за этого ответ содержит не три члена, а два.

4. 4

   Посчитаем члены: это двучлен. После упрощения осталось ровно два неподобных члена: $12a^2b^2$ и $-5ab^5$. Подобными они не являются ($a^2b^2$ против $ab^5$), поэтому дальше приводить нечего, и результат — двучлен.

5. 5

   Найдём степень: складываем показатели внутри каждого члена и берём наибольшую сумму. Для члена с несколькими переменными степень — это сумма показателей, а не наибольший из них:

   $\deg\!\left(12a^2b^2\right)=2+2=4,\qquad \deg\!\left(-5ab^5\right)=1+5=6$

   Степень многочлена равна наибольшему из этих чисел, то есть $6$. Частая оплошность — считывать степень по первому члену, что дало бы неверный ответ $4$; здесь члены не упорядочены по убыванию степеней.

6. 6

   Сформулируем вывод. Полностью упрощённая разность равна $12a^2b^2-5ab^5$: это двучлен шестой степени.