Разложите x² + x - (a² - a) на множители, считая a константой.

Step-by-step solution

1. 1

   Аккуратно раскроем внешние скобки. Минус относится ко всем слагаемым внутри:

   $x^2+x-\left(a^2-a\right)=x^2+x-a^2+a$

   Основная ошибка — забыть поменять знак у $-a$ (написать $-a$, а не $+a$).

2. 2

   Рассмотрим выражение как приведённый квадратный трёхчлен по $x$. Коэффициент при $x$ равен $1$, свободный член — $a-a^2$. Значит, нужны два выражения, сумма которых даёт $1$, а произведение — $a-a^2=a(1-a)$.

3. 3

   Подберём подходящую пару. Очевидные кандидаты — $a$ и $1-a$:

   $a+(1-a)=1\ \checkmark,\qquad a(1-a)=a-a^2\ \checkmark$

   Оба условия выполняются при любом $a$, поэтому разложение работает для всех значений параметра.

4. 4

   Запишем разложение на множители.

   $x^2+x-\left(a^2-a\right)=(x+a)\bigl(x+(1-a)\bigr)=(x+a)(x-a+1)$

5. 5

   Проверим раскрытием скобок.

   $(x+a)(x-a+1)=x^2-ax+x+ax-a^2+a=x^2+x-a^2+a\ \checkmark$

   Слагаемые $\pm ax$ взаимно уничтожаются, поэтому в середине остаётся только $x$.

6. 6

   Выпишем корни и проведём дополнительную проверку. Выражение обращается в ноль при $x=-a$ и $x=a-1$. Их сумма $-1=-b/a$ ✓, произведение $-a(a-1)=a-a^2$ ✓ — совпадает со свободным членом. Численная проверка: при $60$ случайных парах $(x,a)$ из $[-6,6]$ исходное и разложенное выражения совпадают с машинной точностью ✓.