В описании множества: все x, такие что 2 ≤ x ≤ 5, x = 10 — это то же самое, что интервал от 2 до 5 вместе с точкой 10?

Step-by-step solution

1. 1

   Формулируем правило для запятой. В описании множества после вертикальной черты перечисляются условия, которым элемент должен удовлетворять одновременно. Запятая читается как «и»:

   $\{x \mid P(x),\ Q(x)\} = \{x \mid P(x) \ \text{и} \ Q(x)\}$

   Это не стилистика, а строгая договорённость — так же, как в $\{(x,y) \mid x > 0,\ y > 0\}$, где задаётся открытая первая четверть.

2. 2

   Применяем правило к данному множеству. Читая запятую как «и», получаем условие

   $2 \le x \le 5 \quad \text{и} \quad x = 10$

   Ни одно число не удовлетворяет сразу обоим: $x = 10$ фиксирует $x = 10$, но $10 > 5$, значит, условие интервала не выполняется.

3. 3

   Делаем вывод о пустоте множества. Два условия противоречат друг другу, поэтому

   $\{x \mid 2 \le x \le 5,\ x = 10\} = \varnothing$

   Значит, это не то, что требуется — это пустое множество, то есть самый неверный вариант, а не почти правильный.

4. 4

   Записываем нужное множество правильно. Для объединения условий нужно использовать «или», то есть одно составное условие-дизъюнкцию:

   $\{x \mid 2 \le x \le 5 \ \text{или} \ x = 10\}$

   Эквивалентно, можно объединить два множества с разными условиями:

   $\{x \mid 2 \le x \le 5\} \cup \{10\} = [2,5] \cup \{10\}$

5. 5

   Проверяем принадлежность на примерах. В правильной записи: $x = 3$ удовлетворяет первому условию, значит, $3$ принадлежит; $x = 10$ подходит под второе, значит, $10$ принадлежит; $x = 7$ не подходит ни под одно, значит, $7$ не принадлежит. Это полностью совпадает с множеством $[2,5] \cup \{10\}$.

6. 6

   Запоминаем правило сочетания. Запятая (и пересечение $\cap$) всегда «сужают» множество; слово «или» (и объединение $\cup$) — «расширяют». Если в условии несколько отдельных пунктов, нужна «или» или $\cup$, а не запятая.